Задание

Тема «Двойственность в линейной оптимизации» 

Предприятие может производить три вида продукции. Для производства продукции используются три вида ресурсов. Объемы ресурсов, которые предприятие может расходовать на производство продукции, составляют в плановом периоде  b₁ , b₂  и b₃ единиц. Расход i-го (i = 1,3) ресурса на производство единицы продукции  j-го (j = 1,3) вида равен a_ij единиц. Прибыль от единицы продукции j-го вида составляет c_j  ден. ед. Необходимо:

• используя симплекс-метод, найти, сколько и какой продукции необходимо произвести из имеющихся ресурсов, чтобы суммарная прибыль от всей произведенной продукции была наибольшей. Указать, какие ресурсы и в каком объеме расходованы не полностью, а какие расходованы в полном объеме, т.е. найти величину y_i (i = 1,3);
• построить математическую модель двойственной задачи и описать ее экономический смысл;
• используя соответствие между переменными прямой и двойственной задач, найти значения основных u_i (i = 1,3)и дополнительных v_j (j = 1,3) переменных (оценок ресурсов и продукции) двойственной задачи;
• на основе двойственных оценок указать дефицитность ресурсов;
• показать, почему одни виды продукции вошли в оптимальное решение, а другие нет;
• определить целесообразность производства четвертого вида продукции, расход ресурсов на единицу которой равен a₁₄,  a₂₄ и a₃₄ единиц, а прибыль от единицы этой продукции равна c₄ ден. ед.;
• найти границы устойчивости двойственных оценок;
• определить целесообразность приобретения единиц s-го ресурса по цене ден. ед. за единицу;
• определить, сколько дополнительно потребуется единиц r-го  ресурса, чтобы компенсировать снижение прибыли от уменьшения ресурса k-го вида на величину (снижение прибыли будет равно).

Все числовые данные заданий приведены в табл.: