Определения, понятие математики

Математика не имеет общепринятого определения. Аристотель определил математику как «науку о количестве», и это определение преобладало до 18-го века. В 19 веке, когда изучение математики стало более строгим и стало затрагивать абстрактные темы, такие как теория групп и проективная геометрия, которые не имеют четкого отношения к количеству и измерению, математики и философы начали предлагать различные новых определений. Три ведущих типа определения математики сегодня называются логика, интуиционист и формалист, каждый из которых отражает разные философские школы мысли. У всех есть серьезные проблемы, ни у кого нет широкого признания, и никакое примирение не представляется возможным.

Понятие математики с точки зрения логики

Раннее определение математики с точки зрения логики было «наукой, которая делает необходимые выводы» Бенджамина Пирса (1870). В Principia Mathematica, Бертран Рассел и Альфред Норт Уайтхед выдвинули философскую программу, известную как логицизм, и пытались доказать, что все математические понятия, утверждение и принципы могут быть определены и доказаны исключительно в терминах символической логики. Логистическим определением математики является Рассел "Вся математика есть символическая логика" (1903).

Интуиционистские определения математики

Интуиционистские определения, развивающиеся из философии математика Л.Е. Брауэра, отождествляют математику с некоторыми психическими явлениями. Пример интуиционистского определения: «Математика - это умственная деятельность, заключающаяся в выполнении конструкций один за другим». Особенность интуиционизма заключается в том, что он отвергает некоторые математические идеи, считающиеся обоснованными в соответствии с другими определениями. В частности, в то время как другие философии математики допускают существование объектов, которые могут быть доказаны, даже если они не могут быть построены, интуиционизм допускает только математические объекты, которые можно реально построить.

Формалистские определения математики

Формалистские определения отождествляют математику с ее символами и правилами работы с ними. Хаскелл Карри определил математику просто как «науку о формальных системах». формальная система представляет собой набор символов, или маркеров, а также некоторые правила, рассказывающие, как маркеры могут быть объединены в формулах.

В формальных системах слово «аксиома» имеет особое значение, отличное от обычного значения «самоочевидной истины». В формальных системах аксиома - это комбинация токенов, включенная в данную формальную систему без необходимости ее получения с использованием правил системы.

Многие профессиональные математики не интересуются определением математики или считают его неопределимым. Нет даже единого мнения о том, является ли математика искусством или наукой. Некоторые просто говорят: «Математика - это то, что делают математики».