1. Случайные события
Задание 1.
Опыт – извлечение детали из ящика, в котором находятся изделия трех сортов. События: A – «извлечена деталь первого сорта»; B — «извлечена деталь второго сорта»; C – «извлечена деталь третьего сорта». Что представляют собой события , АВ+С?

Задание 2.
Гардеробщица выдала одновременно номерки четырем лицам, сдавшим в гардероб свои шляпы. После этого она перепутала все шляпы и повесила их наугад. Найти вероятности следующих событий:
A – «каждому из четырех лиц гардеробщица выдаст его собственную шляпу»;
B – «ровно три лица получат свои шляпы»;
C – «ровно два лица получат свои шляпы».

Задание 3.
Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель двух и более пуль, если число выстрелов равно 5000.

Задание 4.
Вероятность изготовления изделия, отвечающего стандарту при данной технологии равна 0,8. Найти вероятность того, что из 200 изделий стандартными будут: а) ровно 150, б) от 140 до 155, в) не меньше 165.

Задание 5.
Три автомобиля направлены на перевозку груза. Вероятность исправного состояния первого из них равна 0,7, второго — 0,8, третьего — 0,5. Найти вероятность того, что ровно два автомобиля пригодны к эксплуатации.

2. Случайные величины
Задание 1.
Независимые опыты продолжаются до первого положительного исхода, после чего прекращаются. Найти ряд распределения числа опытов, если вероятность положительного исхода при каждом опыте равна 0,6.
Задание 2
Задан ряд распределения случайной величины X. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить функцию распределения.
Х 4 6 10 12
Р 0,3 0,2 0,2 0,3

Задание 3.
Для непрерывной случайной величины задана функция распределения F(x0 . Требуется найти плотность распределения F(x) , математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Вычислить вероятность того, что отклонение случайной величины от её математического ожидания будет не более среднего квадратического отклонения. Построить график функций.

Задание 4.
Для непрерывной случайной величины задана плотность распределения . Требуется найти параметр , функцию распределения , математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение.

Задание 5.
Случайное отклонение размера детали от номинала распределено по нормальному закону с параметрами и . Стандартными являются те детали, для которых отклонения от номинала лежат в интервале . Записать формулу плотности распределения и построить график плотности распределения.
Сколько необходимо изготовить деталей, чтобы с вероятностью не менее среди них была хотя бы одна стандартная?

Задание 6.

Закон распределения системы дискретных случайных величин задан таблицей. Найти коэффициент корреляции и вероятность попадания случайной величины в область .

Задание 7.
Задана плотность распределения системы двух случайных величин . Найти коэффициент , коэффициент корреляции .

Задание 8.
Суточная потребность электроэнергии в населенном пункте является случайной величиной, математическое ожидание которой равно , а дисперсия равна 2800. оценить вероятность того, что в ближайшие сутки расход электроэнергии в этом населенном пункте будет с до .
Задание 9.
Дано: – случайные величины,
Найти:

Задание 10.
Случайная величина имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием и неизвестной дисперсией . По выборке объема вычислено выборочное среднее . Определить доверительный интервал для неизвестного параметра распределения , отвечающий заданной доверительной вероятности .
; ; ; .
Задание 11.
Случайная величина имеет нормальное распределение с неизвестными математическим ожиданием и дисперсией . По выборке объема вычислены оценки и неизвестных параметров. Найти доверительный интервал для математического ожидания , отвечающий доверительной вероятности .


3. Случайные функции

Задание 1.
Среднее число вызовов, поступающих на станцию скорой помощи за один час, равно 9. Найти вероятность того, что за 20 минут поступит а) три вызова; б) не более двух вызовов.
Задание 2.
Найти предельные вероятности для системы S, граф состояний которой имеет следующий вид.

S0 S1 S2 S3

Задание 3.
В частное детективное агентство «Джейн» поступает в среднем 5 заказов в неделю. Среднее время работы с заказом 4 дня и одновременно могут обслуживаться три заказа. Если агентство уже работает с тремя заказами, то поступающий заказ не принимается. Найти предельные вероятности состояний и пропускные способности (абсолютную и относительную) агентства.

4. Математическая статистика

Даны выборочные совокупности для двух случайных величин (измеряемых признаков) X и Y :

X Y X Y X Y X Y X Y
23.1 54.2 22.5 52.1 31.8 56.0 18.6 48.1 27.5 60.1
25.2 57.5 27.8 54.1 34.7 59.0 20.3 49.9 24.0 57.0
18.3 49.9 23.3 54.0 34.5 59.9 26.5 54.9 29.1 61.9
35.9 67.9 22.9 51.9 27.5 54.2 27.1 55.6 31.2 62.6
26.2 55.8 26.1 58.8 25.7 53.8 29.0 56.9 34.2 64.2
26.9 54.7 21.2 53.2 24.6 54.7 26.0 54.2 32.8 63.9
30.4 60.4 27.2 58.6 29.8 57.9 25.0 53.1 26.0 59.9
25.9 53.2 23.4 55.9 29.7 54.9 28.9 56.4 34.1 66.2
32.8 60.9 29.8 60.1 27.1 53.7 28.6 55.3 27.0 54.1
26.7 51.0 34.1 63.1 28.2 56.8 27.6 53.0 25.7 53.2
19.7 47.2 32.6 60.8 24.6 51.7 26.5 54.1 25.8 51.7
24.6 54.9 33.9 62.1 25.8 52.0 26.6 53.8 24.6 51.0
31.7 59.0 31.6 56.2 33.4 59.3 28.1 56.9 26.7 52.8
29.7 54.1 26.5 52.6 24.3 52.8 28.2 56.8 25.0 54.1
28.5 53.0 24.6 51.8 29.9 58.2 29.3 58.4 34.1 66.1
25.3 54.7 24.7 54.1 34.1 66.3 28.0 57.8 27.9 54.2
28.7 55.9 26.8 55.6 35.1 66.7 27.1 55.3 26.8 53.1
27.6 58.1 28.9 57.8 30.9 61.0 29.0 58.9 26.0 53.8
27.4 59.2 18.9 49.0 30.7 62.0 26.1 56.3 24.1 51.8
20.6 51.0 19.7 50.2 31.2 61.9 25.5 53.8 23.1 50.0

1. Провести группирование данных. Построить корреляционное поле и корреляционную таблицу. Построить эмпирические распределения составляющих X и Y . Найти абсолютные и относительные частоты и накопленные частоты. Начертить полигон и гистограмму частот и накопленных частот.
2. Найти выборочные и исправленные оценки параметров распределения (среднее, дисперсия, среднее квадратичное отклонение, асимметрия, эксцесс, мода, медиана, коэффициент вариации).
3. Провести статистическую проверку статистической гипотезы о нормальном распределении измеряемого признака по следующим критериям: а) среднему квадратичному отклонению, б) размаху варьирования, в) показателям исправленных асимметрии и эксцесса, г) критерию Пирсона 2 (уровень значимости принять равным 0.05). В случае принятия гипотезы о нормальности распределения найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратичного отклонения при уровне надёжности 0.95.
4. Найти и записать в корреляционную таблицу условные средние. На корреляционном поле построить линии регрессии. Найти исправленный корреляционный момент и коэффициент корреляции. Проверить гипотезу о независимости признаков X и Y (уровень значимости принять равным 0.05). Рассчитать коэффициенты линейной регрессии (X на Y или Y на X).Проверить значимость уравнения регрессии. Найти доверительные интервалы для коэффициентов корреляции и линейной регрессии (при уровне надёжности 0.95).