• Nice-Diplom
  • »
  • Лекция 1. Определение матрицы. Определители второго и третьего порядков, их основные свойства

Лекция 1. Определение матрицы. Определители второго и третьего порядков, их основные свойства

Лекция 1. Определение матрицы. Определители второго и третьего порядков, их основные свойства.

Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.
Матрица

Обозначения:
А – матрица,aij - элемент матрицы, i - номер строки, в которой стоит данный элемент, j - номер соответствующего столбца; m – число строк матрицы, n – число ее столбцов.

Определение 1.2. Числа m и n называются размерностями матрицы.

Определение 1.3. Матрица называется квадратной, если m = n. Число n в этом случае называют порядком квадратной
матрицы.

Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, определяемое единственным образом с использованием всех элементов матрицы. Это число называется определителем.

Определитель матрицы

Определение 1.4.Определителем второго порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2-го порядка следующим образом:

Определитель матрицы

При этом из произведения элементов, стоящих на так называемой главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол) вычитается произведение элементов, находящихся на второй, или побочной, диагонали.

Примеры.

Определитель второго порядка


Определитель второго порядка
 


Определение 1.5
. Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3-го порядка следующим образом:

Определитель третьего порядка

Замечание. Для того, чтобы легче запомнить эту формулу, можно использовать так называемое правило треугольников. Оно заключается в следующем: элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «+», располагаются так:

Определитель; образуя два треугольника, симметричных относительно главной диагонали.

Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «-», располагаются аналогичным образом относительно побочной диагонали:

Определитель

Примеры.

1. Определитель матрицы

2.Определитель матрицы

Определение 1.6. Транспонированием матрицы называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования. В результате получается матрица А`, называемая транспонированной по отношению к матрице А, элементы которой связаны с элементами А соотношением a` = <aji</a

Основные свойства определителей

Сформулируем и докажем основные свойства определителей 2-го и 3-го порядка (доказательство проведем для определителей 3-го порядка).

Свойство 1. Определитель не изменяется при транспонировании, т.е.

Определитель матрицы

Доказательство.

Определитель матрицы

Определитель матрицы

Замечание. Следующие свойства определителей будут формулироваться только для строк. При этом из свойства 1 следует, что теми же свойствами будут обладать и столбцы.

Свойство 2. При умножении элементов строки определителя на некоторое число весь определитель умножается на это число, т.е.
Определитель матрицы
Доказательство

Определитель матрицы
Определитель матрицыОпределитель матрицы

Свойство 3. Определитель, имеющий нулевую строку, равен 0.

Определитель матрицы



Доказательство этого свойства следует из свойства 2 при k = 0.

Свойство 4. Определитель, имеющий две равные строки, равен 0.
Определитель матрицы

Доказательство.
Определитель матрицы

Свойство 5. Определитель, две строки которого пропорциональны, равен 0.
Определитель матрицы

Доказательство следует из свойств 2 и 4.

Свойство 6. При перестановке двух строк определителя он умножается на –1.
Определитель матрицыОпределитель матрицы

Свойство 7.
Определитель матрицы Определитель матрицы

Доказательство этого свойства можно провести самостоятельно, сравнив значения левой и правой частей равенства, найденные с помощью определения 1.5.

Свойство 8. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.
Определитель матрицы Определитель матрицы
Доказательство следует из свойств 7 и 5.

Есть вопросы

Вы можете оформить заявку в любое время, круглосуточно.  Мы работаем ежедневно, без перерывов и выходных.

После заполнения формы Вам на почту придет сообщение и в ближайшее время с Вами свяжется менеджер.

Если Вы не получите сообщение, проверьте папку "Спам", а также правильность указания своего email.

На все виды работ мы даем гарантии. Мы серьезно относимся к своим обязательствам.

В случае ненадлежащего выполнения Ваших требований, эксперт внесет бесплатные исправления.

При существенных нарушениях, что маловероятно, мы вернем Вам оплату.

Да, мы выполняем срочные задания, за редким исключением.

Если реально выполнить срочный заказ, мы это сделаем.

Но Вы должны понимать, что чудес не бывает, старайтесь не затягивать время.

Вы можете запрашивать у своего менеджера любую необходимую Вам информацию.

В процессе работы Вы можете вносить небольшие уточнения.

До внесения предоплаты можно вносить существенные уточнения.

Все выполненные экспертами работы проверяются на соответствие требованиям заказчика.

При выявлении недостатков, заказ отправляется на доработку.

Только после тщательной проверки Вы получите сообщение о готовности работы.