Контрольная работа по теории вероятностей-8
Контрольная работа по предмету "Теория вероятностей"
Заполните форму, чтобы купить данную работу
Вы можете купить готовую студенческую работу "Контрольная работа по теории вероятностей-8". Также Вы можете заказать оригинальную работу "Контрольная работа по теории вероятностей-8". Данная работа будет написана только для Вас. При написании работы "Контрольная работа по теории вероятностей-8" Мы выполним все указанные Вами пожелания.
Чтобы заказать работу "Контрольная работа по теории вероятностей-8", заполните форму заказа. В строке "Комментарий" Вы можете указать свой план работы "Контрольная работа по теории вероятностей-8". Если Вы не имеете своего плана работы "Контрольная работа по теории вероятностей-8", напишите объем, срок и другие пожелания и требования.
Категория: Каталог готовых студенческих работ / Контрольная работа
Количество просмотров: 1 519
Задача №1.
В урне содержится 4 черных и 7 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них имеется: а) ровно 2 белых шара, б) меньше, чем 2 белых шара, в) хотя бы 1 белый шар.
Решение:
а) Пусть событие А – среди вынутых шаров ровно два белых (тогда два других вынутых шара – черные). Вероятность этого события найдем, используя классическую формулу вероятности:
,
где n – число всевозможных элементарных исходов, благоприятствующих данному событию. Элементарными исходами являются всевозможные сочетания: (число всех исходов);
(число положительных исходов).
Получаем:
/////
Получаем:
в) Пусть событие С – среди вынутых шаров хотя бы один белый шар. Перейдем к противоположному событию – среди вынутых шаров нет ни одного белого, т. Е. все вынутые шары – черные. Следовательно
Получаем: , и тогда
Ответ: а) 0,382, ////
Задача №2.
На автопредприятие поступили одноименные детали с двух заводов. Вероятность того, что деталь, изготовленная на первом заводе, не соответствует ГОСТу -0,9; для второго – 0,3. Первый завод поставил 2000 деталей, второй – 3000. Сборщик взял одну деталь, которая оказалась соответствующей ГОСТу. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена на первом заводе.
Решение:
Рассмотрим событие А, которое заключается в том, что сборщик взял одну деталь, которая оказалась соответствующей ГОСТу. И гипотезы H1, H2, заключающиеся в том, что работа выполнена студентом первой, второй, третьей группы соответственно.
Всего имеется 5000 деталей. Тогда вероятности того, что деталь с первого или второго завода соответственно, будут равны:
/////
выбранная случайным образом деталь соответствует ГОСТу.
Теперь воспользуемся формулой Байеса: , где – полная вероятность.
Получаем:
– вероятность того, что деталь, соответствующая ГОСТу, изготовлена на первом заводе.
Ответ: //////
Задача №3.
Вероятность возврата в срок потребительского кредита каждым из 160 заемщиков в среднем равна 0,9. Найти вероятность того, что к назначенному сроку кредит вернут:
а) не менее 145 человек и не более 155;
б) не менее 155 человек;
в) не более 154 человек.
Решение.
а) Согласно интегральной теореме Лапласа, если вероятность появления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и равна p, то вероятность того, что во всех испытаниях событие А появится не менее k1 раз и не более k2 раз, приближенно определяется формулой:
Pn(k1, k2)=Ф(х2)-Ф(х1), где , ,
По условию задачи n=160, p=0,9, q=1 - 0,9=0,1, k1=145, k2=155. Вычислим х1, х2:
///////
б) Требование, что событие А появится не менее 1555 раз, означает, что число появлений события может быть равно 155, либо 156, либо 157, … , либо 160 (больше 160 быть не может по условию задачи). Значит в рассматриваемом случае следует принять, что k1=155, k2=160, тогда
По таблице значений функции Лапласа находим
//////////////
в) Событие «А появится не более 154 раз» и «А появится не менее 155 раз» противоположны поэтому:
P160(0, 154) = 1 – P160(155, 160) = 1 - 0,002 = 0,998.
Ответ: а) /// б) ///// в) 0,998.
Задача №4.
Дискретная случайная величина задана таблицей
xi -3 -2 1 2 7
pi
p5
Найти p5, математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Построить многоугольник распределения. Найти и изобразить графически функцию распределения.
Решение.
Для любой дискретной случайной величины
Получаем:
Значит закон распределения имеет вид:
xi -3 -2 1 2 7
////
Математическое ожидание найдем по формуле: .
Получаем:
Дисперсию найдем по формуле: .
Тогда
Среднее квадратическое отклонение найдем по формуле: .
Получаем .
Построим многоугольник распределения:
xi -3 -2 1 2 7
pi
Интегральная функция распределения задается формулой F(x) = P(X 7, то F(x) =
Получаем: F(X) =
Построим график функции распределения.
Задача №5.
Непрерывная случайная величина задана функцией плотности распределения
P(x) =
а) Найти функцию распределения F(x), построить график функции р(х) и F(x).
б) Вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
в) Найти вероятность того, что случайная величина примет значение на отрезке [8; 8,5].
Решение.
а) Функции р(х) и F(x) связаны соотношением F(x) = .
Если х ≤ 7, то F(x) = .
Если 7 9, то F(x)
Получаем: F(x) =
Графики функций имеют вид:
б) Математическое ожидание найдем по формуле:
Дисперсию найдем по формуле:
Среднее квадратическое отклонение найдем по формуле: .
=
в) Вероятность того, что случайная величина примет значение на отрезке [5; 6] найдем по формуле:
Ответ: ////
Задача №6
Случайная величина Х является нормально распределенной. Ее математическое ожидание равно 25, а вероятность ее попадания в интервал (23; 27) равна 0,85. Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины.
Решение.
Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал (23; 27) определяется через функцию Лапласа по формуле:
//////////
Т. к. функция Лапласа //////
из таблицы значения функции Лапласа получаем
Ответ: /////
Задача №7.
Рассчитать и построить гистограмму относительных частот по сгруппированным данным, если выборка задана вариационным рядом:
i
mi
1 10 – 12 4
2 12 – 14 12
3 14 – 16 8
4 16 – 18 8
5 18 – 20 18
Решение.
Длина каждого интервала h=2
Объем выборки
Найдем значение относительных частот и занесем полученные результаты в таблицу.
i
mi
1 10 – 12 4
2 12 – 14 12
3 14 – 16 8
//////
Определим плотности относительных частот
i
1 10 – 12
2 12 – 14
3 14 – 16
4 16 – 18
5 18 – 20
Строим гистограмму:
Задача №8.
Выборка Х объемом N = 100 измерений задана таблицей.
xi 0,8 1,1 1,4 1,7 2 2,3 2,6
mi 5 13 27 23 19 10 3
Где xi – результат измерений, mi – частоты с которыми встречаются значения xi, . По критерию проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости .
Решение.
Необходимо проверить гипотезу о предполагаемом законе распределения. Выдвигаем нулевую гипотезу Н0 и ей конкурирующую Н1.
Н0 : признак Х имеет нормальный закон распределения.
Н1 : признак Х имеет закон распределения отличный от нормального.
Нулевую гипотезу проверим с помощью критерия согласия Пирсона:
, где - эмпирические частоты, - теоретические частоты. Число степеней свободы равно , где s число различных значений xi дискретного признака Х (s = 7), r – число параметров предполагаемого закона распределения (для нормального распределения r = 2), отсюда k = 7 – 2 – 1 = 4
Из таблицы критических точек распределения по заданному уровню значимости и числу степеней свободы k = 4 находим .
Вычислим предварительно среднее выборочное и среднее квадратическое отклонение. Необходимые расчеты проведем в таблице, перейдя к условным вариантам: . У нас - шаг выборки, С = 1,7 – условная варианта (соответствует наибольшей частоте):
1 -2 5 -10 20 5
2 -1 13 -13 13 0
3 0 27 0 0 27
4 1 23 23 23 92
5 2 19 38 76 171
6 3 10 30 90 160
7 4 3 12 48 75
7 100 80 270 530
Проверка:
Найдем теперь условные характеристики:
Возвращаясь к исходному вариационному ряду с помощью равенства
Составим расчетную таблицу для нахождения , используя формулу:
xi
0,8 -2,65 0,0119 0,8302 5 4,1698 20,942
1,1 -1,95 0,0596 4,1581 13 8,8419 18,801
1,4 -1,26 0,1804 12,586 27 14,414 16,507
1,7 -0,56 0,341 23,791 23 -0,791 0,0263
2 0,14 0,3951 27,565 19 -8,565 2,6614
2,3 0,84 0,2803 19,556 10 -9,556 4,6694
2,6 1,53 0,1238 8,6372 3 -5,637 3,6792
-3,91 1,39 97,12 100 2,88 67,29
Так как наблюдаемое значение ///////
Ответ: /////