Задание 1:
Даны два комплексных числа z1 и z2. Записать их в тригонометрической и показательной форме. Найти числа

Решение:
Запишем числа в тригонометрической и показательной форме форме:
Разделить комплексное число (делимое) на комплексное число (делитель) – значит найти такое число (частное, которое при умножении на делитель даст делимое.
На практике удобно домножить и разделить на сопряженное к знаменателю.
Извлечение корня из комплексного числа производится по формуле:

Задание 2:
Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее:
а) по формулам Крамера
б) с помощью обратной матрицы
в) методом Гауса.
Выполнить проверку.

Решение:
а) по формулам Крамера

Найдем определитель матрицы:
- значит система имеет решение.

теперь воспользуемся формулами Крамера:

Получаем:
Сделаем проверку:

Равенство выполнено значит уравнение решено верно.
б) с помощью обратной матрицы

Обозначим через А – матрицу коэффициентов при неизвестных; Х – матрицу-столбец неизвестных Х1, Х2, Х3; Н – матрицу-столбец свободных членов:
, ,
С учетом этих обозначений данная система принимает следующую матричную форму:
А∙Х = Н.
Если матрица не вырожденная (ее определитель отличен от 0), то она имеет обратную матрицу А-1. Х = А-1∙Н.
Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.
Пусть имеем невырожденную матрицу:
. Тогда
Где Аij – алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (-1)i+j на минор (определитель) второго порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.
////
Теперь можем найти решение данной системы:

Значит:
в) методом Гауса.

Запишем расширенную матрицу
Помножим вторую строку на 3 и сложим с третьей, помножим вторую строку на 2 и сложим с первой.
/
Получаем:

Ответ: (2; -3; 0)

Задание 3:
I. По координатам точек А(-1; 1; 0), В(-2; 0; 2), С(8; 5; 3)
Найти:
а) Модуль вектора ;
б) Скалярное произведение векторов .
Если
Решение:
1) Если даны точки М1(х1; у1; z1) и М2(х2; у2; z2), то координаты вектора находятся по формуле:

Найдем координаты вектора

Модуль вектора вычисляется по формуле:

б) скалярное произведение найдем по формуле:
Ответ: а) ; б)

Задание 4:
Доказать, что векторы образуют базис и найти координате вектора в этом базисе.

Решение:
Векторы образуют базис, если их смешанное произведение не равно 0.
- значит векторы образуют базис.
Найдем координаты вектора в базисе .
Найдем матрицу перехода

Для этого найдем обратную матрицу А-1.
Сделаем проверку:
- единичная матрица
А-1А=Е

Значит обратная матрица вычислена верно.
Теперь найдем координаты вектора в базисе по формуле:

Ответ: .

Задание 5:
Даны вершины треугольника АВС с координатами А(-4; 12), В(8; 3), С(6; 17).
Найти:
1)длину стороны АВ;
2)уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;
3)внутренний угол В в радианах с точностью до 0,01;
4)уравнение высоты СD;
5)уравнение медианы АМ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой СD;
6)уравнение прямой, проходящей через точку К, параллельно АВ;
7)сделать чертеж.
Решение:
1. Расстояние d между точками М1(х1; у1) и М2(х2; у2) определяется по формуле:

Найдем длину стороны АВ

2. Уравнение прямой проходящей через точки М1(х1; у1) и М2(х2; у2) имеет вид:

Найдем уравнение прямой АВ:

-9х - 36 = 12у - 144, 9х + 12у - 108 = 0, 3х + 4у - 36 = 0
3х + 4у - 36 = 0 – уравнение прямой АВ.
Для нахождения углового коэффициента kАВ прямой АВ разрешим полученное уравнение относительно у: kАВ = - .
Найдем уравнение прямой ВС:

-7х + 56 = у – 3, 7х + у - 59 = 0 – уравнение прямой ВС.
Для нахождения углового коэффициента kВС прямой ВС разрешим полученное уравнение относительно у: kВС = .
//////
4. т.к. высота СD перпендикулярна стороне АВ, то угловые коэффициенты этих прямых обратные по величине и противоположны по знаку, т.е.
kСD = .
Уравнение прямой, проходящей через данную точку М1(х1; у1) с угловым коэффициентом k, имеет вид:
у – у1 = k(х – х1).
Подставим в данное уравнение координаты точки С и kСD = , получим уравнение высоты СD:
у - 17 = (х – 6), 3у - 51 = 4х – 24, 4х - 3у + 27 = 0
5. Уравнение медианы АМ. Т. к. АМ медиана, то М середина ВС. Найдем координаты т. М по формуле:
(х – а)2 + (у – b)2 = R2.

Следовательно,
Найдем уравнение прямой АМ:

-2х - 8 = 11у - 132, 2х + 11у -124 = 0 – уравнение медианы АМ.
Так как К – точка пересечения прямых АМ и СD найдем ее координаты решив систему.

К(1,5; 11)
6)уравнение прямой, проходящей через точку К, параллельно АВ

///////
Сделаем чертеж: