Задание №2:
Исследовать функцию на непрерывность:

Решение:
Функция f(x) – непрерывна в т х = а, если соблюдаются следующие условия:
1 при х = а функция f(x) имеет определенное значение b;
2 при х → а функция имеет предел, тоже равный b;
При нарушении хотябы одного из этих условий функция называется разрывной в т х = а.

- значит в т х = 0 функция имеет разрыв.

- значит в т х = функция имеет разрыв.
Покажем это на графике:


Задание №19:
Найти производные функций:

Решение:

Задание №26:
Найти производные первого и второго порядков функций

Решение:

Задание №33:
Материальная точка движется прямолинейно по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t = 3c. (S – выражено в метрах).
Решение:
Найдем скорость:

Найдем ускорение

Ответ: ,

Задание №50:
Найти экстремальные значения функции.
Решение:
Исследуем функцию на наличие точек экстремума (точек максимума и минимума).

(1; 4) и (-1; -4) – точки подозрительные на экстремум.
Рассчитаем значение производной справа и слева от каждой критической точки.

Значит на промежутке ( ; -1) и [1; ) функция возрастает, а на промежутке [-1; 0) и (0; 1] функция убывает.
Занесем для ясности полученные значения в таблицу:
х ( ; -1)
-1 [-1; 0) 0 (0; 1] 1 [1; )

у′ + 0 -
- 0 +
у
т.
max

т.
min

/////

Задание №57:
Исследовать функции и построить их графики.

Решение:

1)Область определения:
Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой т.к. f(x) – многочлен.
2)Точки пересечения с осями координат:
С осью ОХ т.е. у=0:
- точки пересечения с осью ОХ.
С осью ОУ т.е. х=0:
– точка пересечения с осою ОУ.
3) Исследуем на четность нечетность. Проверим выполнимость равенств: если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x), то функция нечетная, при х D(y). Если равенства не выполняются, то функция ни четная ни нечетная.

Функция четная.
4)Исследуем на наличие асимптот.
Вертикальных асимптот нет т.к. нет точек разрыва.
Наклонные асимптоты:
y = kx + b – уравнение наклонной асимптоты.

тогда

////

////– точки подозрительные на экстремум.
Исследуем поведение функции справа и слева от каждой критической точки.

Значит на промежутке ( ; -2) ; [0; 2] функция убывает, а на промежутке [-2; 0] и (2; ) функция возрастает.
Занесем полученные данные в таблицу:
х (- ; -2)
-2 [-2; 0] 0 [-2; 0] 2 (2; )

у′ + 0 - 0 - 0 +
у
т.
min
т.
max
т.
min

(0; -2) – точка максимума.
(-2; -14); (2; -14) – точки минимума.
6)Исследуем функцию на наличие точек перегиба, промежутки выпуклости и вогнутости функции.

Точка подозрительная на перегиб.

х

у′′ + 0 - 0 +
у
т.
перегиба
т.
перегиба

- координата точек перегиба.

Решение:
1.Область определения.
Все предусмотренной формулой функции операции, кроме деления, - т.е. операции сложения и возведения в натуральную степень – выполняются при любых значениях аргумента х, а деление возможно, если делитель не равен нулю. Поэтому данная функция определена, если знаменатель задающей ее дроби не равен нулю: если , Таким образом, .
2)Точки пересечения с осями координат:
С осью ОХ т.е. у = 0:
- точки пересечения с осью ОХ.
С осью ОУ т.е. х=0:
– точка пересечения с осью ОУ.
3) Исследуем на четность нечетность. Проверим выполнимость равенств: если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x), то функция нечетная, при х D(y). Если равенства не выполняются, то функция ни четная ни нечетная.

Функция ни четная ни нечетная.
4)Исследуем на наличие асимптот.
Вертикальные асимптоты.
Поскольку вертикальные асимптоты следует искать лишь в точках разрыва данной функции, единственным «кандидатом» в нашей задаче является прямая х = 1.
Так как выполняется:

Значит точка разрыва 2-го рода. Прямые являются вертикальными асимптотами.
Наклонные и горизонтальные асимптоты.
Уравнение наклонной асимптоты графика функции имеет вид ,
где ; .
В частности, получается, что если , а при этом существует, по этим формулам находится горизонтальная асимптота .
Выясним наличие наклонных асимптот.
;

- уравнение наклонной асимптоты.
5.Найдем экстремумы и интервалы монотонности. Действуем по следующей схеме.
Вычислим первую производную данной функции:

– точки подозрительные на экстремум.
Исследуем поведение функции справа и слева от подозрительных точки и точек в которых функция не существует.
Значит на промежутке функция возрастает, а на промежутке и функция убывает.
Занесем полученные данные в таблицу:
х
0
1
2

у′ + 0 -
- 0 +
у
т.
max


т.
min

– точка максимума.
- точка минимума.
6.Найдем интервалы выпуклости функции и точки перегиба.
Для этого поступаем так.
Вычислим вторую производную данной функции:

Точек перегиба нет.
Исследуем поведение функции справа и слева от точек в которых функция не существует.

х
1

у′′ +
+
у