Задание №1
Вычислить предел функции, не используя правило Лопиталя

Решение:

Вычислим предел подставив в него :
- неопределенность.
Для устранения неопределенности воспользуемся свойством:
Значение дроби не изменится если ее числитель и знаменатель разделить на одно и тоже ненулевое число.

Вычислим сначала предел степени

Получаем, что:

Вычислим предел подставив в него (5):
- неопределенность.
Для устранения неопределенности умножим и разделим выражение на сопряженные

Вычислим предел подставив в него (-3):
- неопределенность
Для устранения неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители по формулам:
ах2 + bx + с = 0

ах2 + bx + с = а(х-х1)(х-х2)
Тогда получим:

Получаем:

Вычислим предел подставив в него 0:
- неопределенность.
Произведем тождественные преобразования:

Для устранения неопределенности применим формулы 1-го замечательного предела:

Сделаем замену

Используя второй замечательный предел

Задание №2:
Найти производные функций

Решение:

Задание №3
Исследовать функции и построить их графики.

Решение:

1)Область определения:
Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой т.к. f(x) – многочлен.
2)Точки пересечения с осями координат:
С осью ОХ т.е. у=0:
и – точки пересечения с осою ОХ.
С осью ОУ т.е. х=0:
– точка пересечения с осою ОУ.
3) Исследуем на четность нечетность. Проверим выполнимость равенств: если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x), то функция нечетная, при х D(y). Если равенства не выполняются, то функция ни четная ни нечетная.

Функция ни четная ни нечетная
4)Исследуем на наличие асимптот.
Вертикальных асимптот нет т.к. нет точек разрыва.
Наклонные асимптоты:
y = kx + b – уравнение наклонной асимптоты.

тогда

Значит и наклонных асимптот тоже нет.
5)Исследуем функцию на наличие точек экстремума (точек максимума и минимума), промежутки возрастания и убывания функции.

, – точки подозрительная на экстремум.

Значит на промежутке [0; 3] функция убывает, а на промежутке ( ; 0) и (3; ) функция возрастает.
Занесем полученные данные в таблицу:

х (- ; 0)
0 [0; 3] 3 (3; )

у′ + 0 - 0 +
у
т.
max
т.
min

(0; 0) – точка максимума.
– точка минимума.
6)Исследуем функцию на наличие точек перегиба, промежутки выпуклости и вогнутости функции.

Точка подозрительная на перегиб.

х
1
у′′ - 0 +
у
т.
перегиба

- координата точки перегиба.

1)Область определения:
Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой т.к.

Значит
2)Точки пересечения с осями координат:
С осью ОХ т.е. у=0: так как то получаем
Значит точек пересечения с осью ОХ нет
С осью ОУ т.е. х=0:
– точка пересечения с осою ОУ.
3) Исследуем на четность нечетность. Проверим выполнимость равенств: если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x), то функция нечетная, при х D(y). Если равенства не выполняются, то функция ни четная ни нечетная.

Функция ни четная ни нечетная
4)Исследуем на наличие асимптот.
Вертикальных асимптот нет т.к. нет точек разрыва.
Наклонные асимптоты:
y = kx + b – уравнение наклонной асимптоты.

тогда

Наклонных асимптот нет.
5)Исследуем функцию на наличие точек экстремума (точек максимума и минимума), промежутки возрастания и убывания функции.

и – точки подозрительные на экстремум.
- значит на промежутке (- ; -3) функция возрастает.
- значит на промежутке [-3; 0] функция убывает.
- значит на промежутке (0; ) функция возрастает.
х (- ; -3)
-3 [-3; 0] 0 (0; )

у′ + 0 + 0 -
у
т. max
т. min

– точка максимума.
- точка минимума.
5)Исследуем функцию на наличие точек перегиба, промежутки выпуклости и вогнутости функции.

и Точки подозрительные на перегиб.
х
2
3

у′′ - 0 + 0 -
у
т.
перегиба
т.
перегиба

и координаты точек перегиба.

Задание №4:
Найти неопределенные интегралы и выполнить проверки дифференцированием.

Решение:

Вычислим получившиеся интегралы по отдельности:

Получаем

Проверка

Воспользуемся формулой интегрирования по частям.

Проверка:

Разложим знаменатель на множители

Проверка:

Значит, можем воспользоваться формулой:
Воспользуемся формулой интегрирования по частям.

Для последующей замены переменных вычислим производную знаменателя

Вычислим получившиеся интегралы по отдельности

Проверка:

Задание №5:
Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций
Решение:
- графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз.
Найдем координаты вершины параболы

(3,5; 7,125) – координаты вершины параболы.
- графиком функции является прямая.
Найдем точки пересечения f(x) и g(x)

(0; 1) и (6; 4) – координаты точек пересечения графиков функций.
Сделаем чертеж:

На промежутке [0; 6]
Вычислим площадь фигуры с пределами интегрирования а=-1 и b=0,5.

Ответ:

Задание №6:
Найти общее решение дифференциального уравнения и построить графики двух различных решений этого уравнения
Решение:
- графиком
Найдем частные решения
Пусть С1=1 С2= -1

Построим графики двух частных решений.

Задание №7:
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанному условию
Решение:
Разделим обе части уравнения на cosx

Для отыскания частного решения найдем С

Ответ:

Задание №8:
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным указанным условиям
Решение:

Составим характеристическое уравнение

Общее решение однородного уравнения

Общее решение дифференциального уравнения

Частное решение дифференциального уравнения

Ответ:

Задание №9:
Исследовать ряд на сходимость

Решение:

Ответ: ряд сходится
Задание №10:
Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах интервала
Решение:
Найдем радиус сходимости

Найдем интервал сходимости

Ответ: радиус сходимости ////