Толстов Г.П. Элементы математического анализа. Т. I

СКАЧАТЬ

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 9
Введение 15
Глава 1. Действительные числа. Начальные сведения о функции 20
§ 1. Действительные числа 20
§ 2. Числовая ось 23
§ 3. Абсолютная величина действительного числа, ее свойства 24
§ 4. Приближенное значение величины; абсолютная и относительная погрешности 27
§ 5. Числовые множества. Окрестность точки 28
§ 6. Переменная величина 32
§ 7. Функция 33
§ 8. Рациональные функции 38
§ 9. Тригонометрические функции 42
Глава II. Предел числовой последовательности 45
§ 1. Числовые последовательности. Переменная, пробегающая последовательность значений 45
§ 2. Предел последовательности. Предел переменной, пробегающей последовательность значений 46
§ 3. Бесконечно малые; их связь с понятием предела 62
§ 4. Бесконечно большие; их связь с бесконечно малыми
§ 5. Свойства конечных пределов, связанные с арифметическими действиями над переменными 58
§ 6. Свойства конечных пределов, связанные с неравенствами 61
Глава III. Предел функции и непрерывность 64
§ 1. Предел функции; бесконечно малые и бесконечно большие 64
§ 2. Свойства конечных пределов, связанные с арифметическими действиями над функциями 72
§ 3. Свойства конечных пределов функций, связанные с неравенствами 74
§ 4. Непрерывность. Арифметические действия над непрерывными функциями. Непрерывность рациональных и тригонометрических функций 75
§ 5. Точки разрыва; их классификация. Односторонние пределы 81
Глава IV. Производная 87
§ 1. Задачи, приводящие к понятию производной 87
§ 2 Производная 91
§ 3. Формула для приращения функции, имеющей конечную производную; непрерывность такой функции 95
§ 4 Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями 97
§ 5. Производные высших порядков. Формула Лейбница для n-й производной от произведения двух функций 100
Глава V. Сложные, монотонные, обратные функции. Элементарные функции 104
§ 1. Сложные функции 104
§ 2. Предел сложной функции. Правило замены переменной в операции перехода к пределу 105
§ 3. Переход к пределу под знаком непрерывной функции. Теорема о непрерывности сложной функции 107
§ 4. Теорема о производной сложной функции 108
§ 5. Верхняя и нижняя грани числового множества и переменной величины 109
§ 6. Монотонные функции и монотонные последовательности 111
§ 7. Предел монотонной последовательности 113
§ 8. Предел монотонной функции 115
§ 9. Лемма о сохранении знака 116
§ 10. Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции 117
§ 11 Обратные функции. Понятие о многозначных функциях. Теорема о непрерывности обратной функции 119
§ 12. Радикал 122
§ 13. Обратные тригонометрические (или круговые) функции 125
§ 14. Производная обратной функции 129
§ 15 Показательная функция, ее непрерывность 132
§ 16 Логарифмическая функция, ее непрерывность 134
§ 17. Число е Натуральные логарифмы 135
§ 18. Пределы, связанные с числом е 138
§ 19. Производные показательной функции и логарифма 140
§ 20. Гиперболические функции 141
§ 21. Степенная функция с произвольным действительным показателем 143
§ 22. Сводка формул для производных 145
§ 23. Основные элементарные функции. Класс всех элементарных функций; теорема непрерывности 147
§ 24. Точки аналитичности элементарной функции; теорема дифференцируемости 150
Глава VI. Предел функции и непрерывность (продолжение) 152
§ 1. Условие (е-б) существования предела функции и аналогичные условия 152
§ 2. Условие (е-6) непрерывности функции в точке .156
§ 3. Два важных свойства функции, непрерывной на отрезке 157
§ 4. Равномерная непрерывность 158
Глава VII. Дифференциал 160
§ 1. Порядки бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые 160
§ 2. Дифференциал 163
§ 3. Сводка формул для дифференциалов 166
§ 4. Дифференциал сложной функции; инвариантность формы дифференциала 168
§ 5. Дифференциалы высших порядков 163
§ 6. Дифференциалы высших порядков сложной функции; нарушение свойства инвариантности формы для дифференциалов высших порядков 170
Глава VIII. Теоремы о производных. Исследование функций 172
§ 1. Максимумы и минимумы 172
§ 2. Теорема Ферма о производной в точке экстремума 173
§ 3. Теорема Ролля 175
§ 4. Теорема Коши 177
§ 5. Теорема Лагранжа 178
§ 6. Признаки постоянства, возрастания и убывания функций 179
§ 7. Правило Лопиталя (раскрытие неопределенностей) 181
$ 8. Приложение правила Лопиталя к вычислению производных; случай бесконечной производной 189
§ 9. Формула Тейлора для многочлена 190
§ 10. Формула Тейлора в общем случае 192
§ П. Отыскание экстремумов 196
§ 12. Отыскание наибольших и наименьших значений функций 202
§ 13. Направление выпуклости кривой. Точки перегиба 206
§ 14. Отыскание асимптот 209
§ 15. Построение графиков функций по характерным точкам 212
§ 16. Связь между производными при замене независимой переменной; выражение производной через дифференциалы по новой переменной 215
§ 17. Приближенное решение уравнений 217
Глава IX. Расширение понятия функции. Функции многих переменных; предел; непрерывность 226
§ 1. Расширение понятий переменной и функции 226
§ 2. Функции нескольких переменных 228
§ 3. Пространства двух, трех и большего числа измерений. Шар, параллелепипед, непрерывные линии в многомерном пространстве 231
§ 4. Окрестность точки; замкнутые и открытые множества пространства нескольких измерений; области 235
§ 5. Элементарные функции; точки аналитичности 240
§ 6. Явные и неявные уравнения 242
§ 7. Функции, задаваемые неявно 242
§ 8. Предел функции нескольких переменных. Бесконечно малые и бесконечно большие 247
§ 9. Непрерывность 253
Глава X. Неопределенный интеграл 262
§ 1. Первообразная. Два вида задач, приводящих к понятию интеграла 262
§ 2. Общий вид первообразной для данной функции. Неопределенный интеграл 263
§ 3. Простейшие свойства неопределенного интеграла 268
§ 4. Сводка формул для интегралов. Непосредственное интегрирование 270
§ 5. Интегрирование разложением .275
§ 6. Интегрирование подстановкой 276
§ 7. Интегрирование по частям 280
§ 8. Интегрирование простейших рациональных дробей 282
§ 9. Некоторые типы интегралов 286
Глава XI. Определенный интеграл 292
§ 1. Площадь плоской фигуры 292
§ 2. Производная от площади переменной криволинейной трапеции. Существование первообразной для всякой непрерывной функции 296
§ 3. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Геометрический смысл определенного интеграла 298
§ 4. Свойства определенного интеграла от непрерывной функции 304
§ 5. Замена переменной 309
§ 6. Интегрирование четных и нечетных функций 312
§ 7. Интегрирование по частям 313
§ 8. Определенный интеграл как функция пределов интегрирования 315
§ 9. Теорема о среднем значении 317
§ 10. Определенный интеграл, как предел интегральных сумм 318
§11. Вычисление площадей простых фигур 325
§ 12. Вычисление площади сектора кривой, заданной полярным уравнением .328
§ 13. Объем тела 330
§ 14. Вычисление объема тела, площади поперечных сечений которого известны. Объем тела вращения. 331
§ 15. Длина кривой линии 335
§ 16. Длина переменной дуги, ее производная и дифференциал.
Переменная дуга в роли параметра 341
§ 17. Площадь поверхности вращения 345
§ 18. Отыскание координат центра тяжести кривой линии 348
§ 19. Приближенное интегрирование 352
Глава XII. Интегрирование разрывных функций. Несобственные интегралы 359
§ 1. Обобщенная первообразная 359
§ 2. Обобщение признаков возрастания, убывания и постоянства функций 361
§ 3. Свойства обобщенных первообразных 362
§ 4. Интеграл от разрывной функции. Формула Ньютона — Лейбница 363
§ 5. Простейшие свойства интегралов от разрывных функций 365
§ 6. Условие интегрируемости функции с одной точкой разрыва 369
§ 7. Признаки интегрируемости неотрицательных функций 371
§ 8. Интегрируемость всякой ограниченной функции с конечным числом разрывов 372
§ 9. Интегрирование неограниченных функций 373
§ 10. Абсолютно интегрируемые функции 376
§ 11. Интегрирование по частям 378
§ 12. Несобственные интегралы с бесконечными пределами 379
Глава XIII. Вектор-функции. Элементы дифференциальной геометрии 391
§ 1. Вектор-функции скалярного аргумента 391
§ 2. Векторное уравнение пространственной кривой. Касательная к ней. Нормальная плоскость 399
§ 3. Единичный вектор касательной к пространственной кривой 401
§ 4. Кривизна пространственной кривой 403
§ 5. Понятие о естественном трехграннике .405
§ 6. Некоторые приложения к механике. Скорость и ускорение движущейся точки 408
§ 7. Случай плоской кривой, касательная, кривизна, радиус кривизны 410
§ 8. Круг и центр кривизны плоской кривой 414
§ 9. Эволюты и эвольвенты .415
Глава XIV. Комплексные числа и комплексные функции 420
§ 1. Комплексные числа и арифметические действия над ними . . 420
§ 2. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Модуль и аргумент, их свойства 426
§ 3. Возведение в степень; формула Муавра 430
§ 4. Извлечение корня 431
§ 5. Комплексный показатель степени. Формула Эйлера. Показательная форма записи комплексного числа 434
§ 6. Предел последовательности комплексных чисел 436
§ 7. Комплексные функции действительной переменной 439
§ 8. Функции комплексной переменной 444
Глава XV. Свойства многочленов. Рациональные дроби 454
§ 1. Формула Тейлора для многочлена в случае комплексных значений коэффициентов и переменной 454
§ 2. Корни многочлена. Разложение многочлена на линейные множители 455
§ 3. Единственность многочлена степени не выше n, принимающего заданные значения в n+1 точках. Интерполяционная формула Лагранжа 457
§ 4. Признак кратности корня многочлена 460
§ 5. Свойства многочленов с действительными коэффициентами; разложение таких многочленов на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами 461
§ 6. Рациональные дроби, разложение на простейшие 462
§ 7. Приложения к интегрированию рациональных дробей 465
§ 8. Приложения к интегрированию некоторых нерациональностей 467
Глава XVI. Многомерные векторы. Начальные сведения о матрицах 474
§ 1. Многомерные векторы; умножение на число; сложение и вычитание; скалярное произведение; ортогональность; базис 474
§ 2. Матрицы; умножение на число; сложение и вычитание матриц 479
§ 3. Умножение матрицы на вектор 481
§ 4. Квадратные матрицы 483
§ 5. Линейные преобразования на плоскости 484
§ 6. Геометрический смысл определителя матрицы линейного преобразования на плоскости.489
§ 7. Собственные векторы и собственные значения матрицы второго порядка; характеристическое уравнение 492
§ 8. Симметричные матрицы второго порядка; существование действительных ортогональных собственных векторов 494
§ 9. Квадратичная форма двух переменных н ее приведение к каноническому виду 497
§ 10. Линейные преобразования в пространстве n-измерений. Собственные векторы и собственные значения матрицы любого порядка. Квадратичные формы нескольких переменных 500
§ 11. Произведение матриц. Обратная матрица 506
§ 12. Дифференцирование и интегрирование векторов и матриц 511
Несколько советов, касающихся преподавания .513
Предметный указатель 516

СКАЧАТЬ