Институт бизнеса и политики Вариант 2, есть и другие варинты

Задача №1
В урне содержится 6 черных и 5 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них имеется: а) ровно 2 белых шара, б) меньше, чем 2 белых шара, в) хотя бы 1 белый шар.
Решение:
а) Пусть событие А – среди вынутых шаров ровно два белых (тогда два других вынутых шара – черные). Вероятность этого события найдем, используя классическую формулу вероятности: , где n – число всевозможных элементарных исходов, благоприятствующих данному событию. Элементарными исходами являются всевозможные сочетания:
(число всех исходов);
(число положительных исходов).
Получаем:
б) Пусть событие В – ///////. Поэтому:

Получаем:
в) Пусть событие С – среди вынутых шаров хотя бы один белый шар. Перейдем к противоположному событию – среди вынутых шаров нет ни одного белого, т. е. все вынутые шары – черные. Следовательно

Получаем: , и тогда
Ответ: а) 0,45, б) ////, в) //////.

Задача №2
Два контролера производят оценку качества выпускаемой продукции. Вероятность того, что изделие попадет к первому контролеру, равна 0,55; ко второму – 0,45. Первый контролер выявляет дефект с вероятностью 0,9, а второй с вероятностью 0,98. Бездефектное изделие признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие прошло через второго контролера.
Решение:
Рассмотрим событие А, которое заключается в том, что бездефектное изделие признано стандартным. И гипотезы H1, H2, заключающиеся в том, что изделие проверил первый или второй контролер.
Тогда вероятности того, что изделие попадет к первому, второму контролеру будут равны:

Из условия задачи известны условные вероятности:
– вероятность того, что первый контролер признал годное изделие годным.
– вероятность того, что второй контролер признал не годное изделие годным.
По формуле //////// получаем:
– вероятность того, что годное изделие признано годным.
Теперь воспользуемся формулой //////: , где – полная вероятность.
Получаем: – вероятность того, что годное изделие прошло через второго контролера.
Ответ:

Задача №3
Вероятность возврата в срок потребительского кредита каждым из 150 заемщиков в среднем равна 0,9. Найти вероятность того, что к назначенному сроку кредит вернут:
а) не менее 120 человек и не более 140;
б) не менее 140 человек;
в) не более 139 человек.
Решение.
а) Согласно интегральной теореме Лапласа, если вероятность появления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и равна p, то вероятность того, что во всех испытаниях событие А появится не менее k1 раз и не более k2 раз, приближенно определяется формулой:
Pn(k1, k2)=Ф(х2)-Ф(х1) где , ,
По условию задачи n=150, p=0,9, q=1 - 0,9=0,1, k1=120, k2=140. Вычислим х1, х2:

По таблице значений функции Лапласа находим
///////////
б) Требование, что событие А появится не менее 140 раз, означает, что число появлений события может быть равно 140, либо 141, либо 142, … , либо 150 (больше 150 быть не может по условию задачи). Значит в рассматриваемом случае следует принять, что k1=140, k2=150, тогда

По таблице значений функции Лапласа находим
////////
в) Событие «А появится не более 139 раз» и «А появится не менее 140 раз» противоположны поэтому:
///////
Ответ: а) //////; б) ////; в) 0,9131.

Задача №4
Дискретная случайная величина задана таблицей:
xi -7 -4 0 4 7
pi

p5
Найти p5, математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Построить многоугольник распределения. Найти и изобразить графически функцию распределения.
Решение.
Для любой дискретной случайной величины
.
Получаем:

Значит закон распределения имеет вид:
xi -7 -4 0 4 7
pi

или
xi -7 -4 0 4 7
pi

Математическое ожидание найдем по формуле:
.
Получаем:

Дисперсию найдем по формуле:

Тогда

Среднее квадратическое отклонение найдем по формуле:

Получаем .
Построим многоугольник распределения:

Интегральная функция распределения задается формулой F(x) = P(X 7, то F(x) =
Получаем: F(X) =
Построим график функции распределения.

Задача 5
Непрерывная случайная величина задана функцией плотности распределения
P(x) =
а) Найти функцию распределения F(x), построить график функции р(х) и F(x).
б) Вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
в) Найти вероятность того, что случайная величина примет значение на отрезке [0,5; 1,5].
Решение.
а) Функции р(х) и F(x) связаны соотношением F(x) = .
Если х ≤ 0, то F(x) = .
Если 1 2, то
Получаем: F(x) =

Графики функций имеют вид:
F(X)

P(X)

б) Математическое ожидание найдем по формуле:

Дисперсию найдем по формуле:
.
Среднее квадратическое отклонение найдем по формуле: .
=
в) Вероятность того, что случайная величина примет значение на отрезке [0,5; 1,5] найдем по формуле:

Ответ: ////

Задача №6
Случайная величина Х является нормально распределенной. Ее математическое ожидание равно 42 а вероятность ее попадания в интервал (40; 44) равна 0,98. Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины.
Решение.
Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал определяется через функцию Лапласа по формуле:

По условию задачи вероятность:
Р(40< X < 44)=0,98.
Тогда:

Т. к. функция Лапласа является нечетной функцией, для нее Ф(-z) = -Ф(z).

Из таблицы значения функции Лапласа получаем:

Ответ:

Задача №7
Рассчитать и построить гистограмму относительных частот по сгруппированным данным, если выборка задана вариационным рядом:
i
mi
1 3 – 7 4
2 7 – 11 6
3 11 – 15 9
4 15 – 19 10
5 19 – 23 11

Решение
Длина каждого интервала h=4
Объем выборки
Найдем значение относительных частот и занесем полученные результаты в таблицу.
i
mi

1 3 – 7 4

2 7 – 11 6

3 11 – 15 9

4 15 – 19 10

5 19 – 23 11

Определим плотности относительных частот
i

1 3 – 7

2 7 – 11

3 11 – 15

4 15 – 19

5 19 – 23


Строим гистограмму:

Задача №8
Найти выборочное уравнение линейной регрессии Y на Х на основании корреляционной таблицы.
Х
Y 5 10 15 20 25 30 35
30 6 4 2 5
40 4 5 7 1
50 4 3 5 6
60 5 3 10 2
70 4 10 4 2 8

Решение
Выберем ложные нули С1=20, С2=50. Из таблицы видим что шаги равны h1=5, h2=10.
Введем условные варианты:

Составим корреляционную таблицу, в которую запишем условные варианты , а также внесем в нее значения nui, nvj.

-3 -2 -1 0 1 2 3 nvj
-2 - 6 - 4 - 2 5 17
-1 4 - 5 - 7 1 - 17
0 - 4 3 5 - - 6 18
1 5 3 - - 10 2 - 20
2 - - 4 10 4 2 8 28
nui 9 13 12 19 21 7 19 N=100

Составим таблицу, в которую внесем произведения nuiui, в правый верхний угол заполненных ячеек и nvjvj в левый нижний угол, после чего суммируем верхние значения по строкам для получения значений и нижние значения по столбцам для получения значений . В дополнительный столбец и строку внесем произведения и .
ui
vj -3 -2 -1 0 1 2 3

-2 -12
6
-12 0
4
-8 4
2
-4 15
5
-10 7 -14
-1 -12
4
-4 -5
5
-5 7
7
-7 2
1
-1 -8 8
0 -8
4
0 -3
3
0 0
5
0 18
6
0 7 0
1 -15
5
5 -6
3
3 10
10
10 4
2
2 -7 -7
2 -4
4
8 0
10
20 4
4
8 4
2
4 24
8
16 28 56

1 -9 3 12 11 1 6 - 43

-3 18 -3 0 11 2 18 43 -

значит подсчет произведен правильно.
Найдем:

По формулам определяем среднее квадратическое отклонение:

Подставим рассчитанные данные в формулу для подсчета выборочного коэффициента корреляции:

Осуществим переход к исходным вариантам:

Подставим найденные значения в выборочное уравнение линейной регрессии:

Уравнение линейной регрессии имеет вид

Задача №9
Выборка Х объемом N = 100 измерений задана таблицей.
xi 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4
mi 5 13 25 25 19 10 3
Где xi – результат измерений, mi – частоты с которыми встречаются значения xi, . По критерию проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости .
Решение
Необходимо проверить гипотезу о предполагаемом законе распределения. Выдвигаем нулевую гипотезу Н0 и ей конкурирующую Н1.
Н0 : признак Х имеет нормальный закон распределения.
Н1 : признак Х имеет закон распределения отличный от нормального.
Нулевую гипотезу проверим с помощью критерия согласия Пирсона:
, где - эмпирические частоты, - теоретические частоты. Число степеней свободы равно , где s число различных значений xi дискретного признака Х (s = 7), r – число параметров предполагаемого закона распределения (для нормального распределения r = 2), отсюда k = 7 – 2 – 1 = 4
Из таблицы критических точек распределения по заданному уровню значимости и числу степеней свободы k = 4 находим .
Вычислим предварительно среднее выборочное и среднее квадратическое отклонение. Необходимые расчеты проведем в таблице, перейдя к условным вариантам: . У нас - шаг выборки, С = 1,5 – условная варианта (соответствует наибольшей частоте):
i

1 -3 5 -15 45 20
2 -2 13 -26 52 13
3 -1 25 -25 25 0
4 0 25 0 0 25
5 1 19 19 19 76
6 2 10 20 40 90
7 3 3 9 27 48

0 100 -18 208 272

Проверка:
Найдем теперь условные характеристики:

Возвращаясь к исходному вариационному ряду с помощью равенства
Составим расчетную таблицу для нахождения , используя формулу:
xi

0,6 -0,85 0,278 19,441 5 -14,441 10,72653
0,9 -0,55 0,3429 23,979 13 -10,979 5,026848
1,2 -0,25 0,3867 27,042 25 -2,042 0,15419
1,5 0,05 0,3984 27,860 25 -2,860 0,293624
1,8 0,35 0,3752 26,238 19 -7,238 1,996558
2,1 0,65 0,323 22,587 10 -12,587 7,014657
2,4 0,95 0,2541 17,769 3 -14,769 12,27572

0,38 2,36 164,916 100 -64,916 37,488

Так как наблюдаемое значение критерия не попало в область принятия гипотезы , то ////////
Ответ: гипотеза //////
Список использованной литературы
1. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие. – 11-е изд., перераб. – М.: Высшее образование, 2007.
2. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – 2-е изд., перераб. И доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006.
3. Бочаров П. П. , Печенкин А. В. Теория вероятностей и математическая статистика: – М.: Гардарика, 1998.
4. Колемаев В. А., Калинина В. Н. Теория вероятностей и математическая статистика: – М.: ИНФРА-М, 1997.
5. Четыркин Е. М., Клихман И. Л. Вероятность и статистика. – М.: Финансы и статистика, 1982.