Метод интервалов при решении неравенств

• находим нули функции в левой части неравенства, т.е. значения х, в которых числитель и знаменатель равны нулю (приравниваем числитель и знаменатель дроби к нулю и решаем уравнения). При необходимости раскладываем многочлены на множители;
• полученные значения х отмечаем на оси Х в порядке возрастания слева направо. Если неравенство строгое (< или >), точки проставляются пустыми (выколотыми). При нестрогом неравенстве нули числителя (точки) закрашиваются, а нули знаменателя (точки) отмечаются выколотыми;
• указанные точки (где числитель или знаменатель обращаются в нуль) разбивают ось Х на несколько промежутков, на которых определяем знак функции в левой части заданного неравенства. Для этого берем на каждом промежутке любую принадлежащую ему точку (наиболее удобную) и, подставляя в функцию, проверяем ее знак. Полученный знак ("+" или "-") отмечаем на числовой оси над соответствующим промежутком);
• определяем искомое решение в зависимости от знака неравенства. Если знак > или ≥, выбираем интервалы (промежутки) с плюсом; если знак < или ≤, выбираем интервалы (промежутки) с минусом. Записывается ответ в виде объединения интервалов (если их несколько). Для наглядности искомые промежутки штрихуются или иллюстрируются волнообразной линией ("кривой знаков").

Для закрепления теоретического материала рассмотрим пример.

Пример.Решите неравенство $\frac{(x-1)·(x+5{)}^2}{(x-\sqrt{7})·(x-1{)}^3}\le 0$

Решение

Применим для решения неравенства метод интервалов (промежутков) по указанному выше алгоритму.

Прежде всего, обратите внимание. Несмотря на то, что числитель и знаменатель имеют одинаковый множитель (х - 1), сокращать на него нельзя, т.к. можем "потерять" знак неравенства. Как известно, при делении на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.

Находим нули числителя и знаменателя: для числителя - это х = $1$ и х = $-5$, для знаменателя - это х = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" 7 и х = $1$. Отметим данные точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое, нуль числителя отметим закрашенной точкой, а нули знаменателя - пустыми точками (потому что на 0 делить нельзя).

Отметим знаки функции на промежутках, начиная с крайнего правого. Проверяем знак выражения, стоящего слева в неравенстве, например, при х = 3 (данная точка принадлежит самому крайнему справа промежутку). Получаем знак « $+$». Проделаем то же самое с остальными промежутками. Отметим полученные знаки на числовой прямой над каждым промежутком. Получим:

Так как задано нестрогое неравенство вида $\le \; (меньше\; или\; равно),\; отметим\; штрихом$промежутки со знаком « $-$».

Запишем ответ: $(-\infty ,1)\cup (1,\sqrt{7)}$ .

Обратим внимание на точки. Несмотря на то, что штрихи на линии визуально не прерываются, ответ не записываем единым интервалом, т.к. точка х=1 разрывает интервал (не входит в него).