Метод интервалов при решении неравенств

0

Рассмотрим метод интервалов, или как его еще называют, метод промежутков. Данное понятие известно еще из школьной программы, когда мы решали неравенства этим методом. Часто метод интервалов применяется для решения рациональных неравенств (и не только), а также для нахождения промежутков возрастания и убывания функции.

Рассмотрим применение метода интервалов для решения рациональных неравенств вида p ( x ) q ( x ) 0 .

Здесь p (x), q (x) - многочлены (при решении они раскладываются на линейные множители).

Количество множителей в числителе и знаменателе дроби не имеет значения. Также может быть использован любой знак неравенства (например, < или >)

Пример рационального неравенства: ( x - 2 ) · ( x + 4 ) 2 ( x - 6 ) · ( x - 1 ) 3 0 .

Или ( x + 5 ) · ( x 2 x + 2 ) · ( x + 7 ) 3 0

Вначале рассмотрим алгоритм решения неравенств методом интервалов, а затем приведем пример с использованием метода интервалов.

Метод интервалов алгоритм

  • находим нули функции в левой части неравенства, т.е. значения х, в которых числитель и знаменатель равны нулю (приравниваем числитель и знаменатель дроби к нулю и решаем уравнения). При необходимости раскладываем многочлены на множители;
  • полученные значения х отмечаем на оси Х в порядке возрастания слева направо. Если неравенство строгое (< или >), точки проставляются пустыми (выколотыми). При нестрогом неравенстве нули числителя (точки) закрашиваются, а нули знаменателя (точки) отмечаются выколотыми;
  • указанные точки (где числитель или знаменатель обращаются в нуль) разбивают ось Х на несколько промежутков, на которых определяем знак функции в левой части заданного неравенства. Для этого берем на каждом промежутке любую принадлежащую ему точку (наиболее удобную) и, подставляя в функцию, проверяем ее знак. Полученный знак ("+" или "-") отмечаем на числовой оси над соответствующим промежутком);
  • определяем искомое решение в зависимости от знака неравенства. Если знак > или ≥, выбираем интервалы (промежутки) с плюсом; если знак < или , выбираем интервалы (промежутки) с минусом. Записывается ответ в виде объединения интервалов (если их несколько). Для наглядности искомые промежутки штрихуются или иллюстрируются волнообразной линией ("кривой знаков").

В основу метода интервалов положено свойство дробно-рациональной функции менять знак только в точках, в которых она равна нулю или не существует. При этом на каждом из промежутков указанная функция сохраняет свой знак.

Решение неравенства методом интервалов примеры

Для закрепления теоретического материала рассмотрим пример.

Пример.Решите неравенство ( x - 1 ) · ( x + 5 ) 2 ( x - 7 ) · ( x - 1 ) 3 0

Решение

Применим для решения неравенства метод интервалов (промежутков) по указанному выше алгоритму.

Прежде всего, обратите внимание. Несмотря на то, что числитель и знаменатель имеют одинаковый множитель (х - 1), сокращать на него нельзя, т.к. можем "потерять" знак неравенства. Как известно, при делении на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.

Находим нули числителя и знаменателя: для числителя - это х = 1 и х = - 5, для знаменателя - это х = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" 7 и х = 1. Отметим данные точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое, нуль числителя отметим закрашенной точкой, а нули знаменателя - пустыми точками (потому что на 0 делить нельзя).

Пример решения неравенств методом интервалов

Отметим знаки функции на промежутках, начиная с крайнего правого. Проверяем знак выражения, стоящего слева в неравенстве, например, при х = 3 (данная точка принадлежит самому крайнему справа промежутку). Получаем знак « +». Проделаем то же самое с остальными промежутками. Отметим полученные знаки на числовой прямой над каждым промежутком. Получим:

решение неравенств методом интервалов пример

Так как задано нестрогое неравенство вида ≤ (меньше или равно), отметим штрихомпромежутки со знаком « -».

Примеры решения неравенств методом интервалов

Запишем ответ: ( - , 1 ) ( 1 , 7 ) .

Обратим внимание на точки. Несмотря на то, что штрихи на линии визуально не прерываются, ответ не записываем единым интервалом, т.к. точка х=1 разрывает интервал (не входит в него).

Как было отмечено выше, при решении некоторых неравенств их предварительно необходимо преобразовать так, чтобы числитель и знаменатель состояли из произведения линейных множителей. Для этого многочлены второй и более степеней раскладывают на множители.

В том случае, если неравенство не содержит дробное выражение, его решение аналогичное.

Применение метода интервалов существенно упрощает решение рациональных неравенств. Главное - строго следовать рассмотренному алгоритму.

Опубликовано: 7-09-2019, 21:04, количество просмотров: 238

Есть вопросы

Вы можете оформить заявку в любое время, круглосуточно.  Мы работаем ежедневно, без перерывов и выходных.

После заполнения формы Вам на почту придет сообщение и в ближайшее время с Вами свяжется менеджер.

Если Вы не получите сообщение, проверьте папку "Спам", а также правильность указания своего email.

На все виды работ мы даем гарантии. Мы серьезно относимся к своим обязательствам.

В случае ненадлежащего выполнения Ваших требований, эксперт внесет бесплатные исправления.

При существенных нарушениях, что маловероятно, мы вернем Вам оплату.

Да, мы выполняем срочные задания, за редким исключением.

Если реально выполнить срочный заказ, мы это сделаем.

Но Вы должны понимать, что чудес не бывает, старайтесь не затягивать время.

Вы можете запрашивать у своего менеджера любую необходимую Вам информацию.

В процессе работы Вы можете вносить небольшие уточнения.

До внесения предоплаты можно вносить существенные уточнения.

Все выполненные экспертами работы проверяются на соответствие требованиям заказчика.

При выявлении недостатков, заказ отправляется на доработку.

Только после тщательной проверки Вы получите сообщение о готовности работы.