Пример. Промежутки возрастания и убывания функции

0

На данной странице мы рассмотрим пример, как найти промежутки возрастания и убывания функции.

При решении будем использовать первую производную функции, а также метод интервалов (промежутков).

Найдем экстремумы, промежутки возрастания и убывания функции по следующему алгоритму.

1. Вычислим первую производную функции.



Первая производная (y´) не существует: таких точек нет.

Следовательно, имеем две критические точки: x1 =-2, x2 = 2.

2. Определим знак первой производной при переходе через критические точки, применяя метод интервалов.



3. Запишем промежутки возрастания и убывания функции. На промежутках (œ; -2) и (2; +œ) первая производная больше нуля, следовательно, функция на этих промежутках возрастает (отмечаем стрелкой вверх).
   На промежутке (-2; 2) первая производная меньше нуля, следовательно, функция на этом промежутке убывает (отмечаем стрелкой вниз).
4. Определим экстремумы, точки максимума и минимума функции.

• Так как при переходе через точку х = -2 первая производная функции меняет знак с плюса на минус, то точка х = -2 является точкой максимума. Значение функции в этой точке равно 2:

• Так как при переходе через точку x = 2 первая производная функции меняет знак с минуса на плюс, то точка x = 2 является точкой минимума. В силу нечетности функции y(2) = - 2.

Если мы построим график данной функции, то убедимся в правильности приведенного решения.

На графике видно, что точка максимум ("на вершине") есть х = -2 или (-2;2), точка минимум ("в ямке") есть х = 2 или (2; -2).

Также график иллюстрирует промежутки возрастания и убывания функции.